在Thread上面看到了一個謝爾賓斯基三角形的混沌遊戲，其內容為： === 給定一個三角形ABC，再隨便給一個點P0。 第一次操作就用P0和A,B,C其中一點，作出其中點P1。其中，A,B,C的選擇是隨機的。 第二次操作就用P1和A,B,C其中一點，作出其中點P2。其中，A,B,C的選擇是隨機的，此次A,B,C的選擇不受上一次選擇的影響。 就這樣不斷操作，弄出許多後，雖然A,B,C的選擇是隨機的，但最後這些點所產生的圖形，會變成著名的碎形——謝爾賓斯基三角形。 === 這個實在太有趣了，所以忍不住就用geogebra做了一個來看。 不過，也好奇一件事情：中點可視為分點公式的一個特例，即 P{n+1}=0.5Pn + 0.5A (或B、C) 如果調整比例，使其變成 P{n+1}=kPn + (1-k)A (或B、C) 那形成的圖形是什麼呢？ 就做出這個東西了，有些結果不意外、有些結果倒是令人驚奇。 影片為 k = 0.4、k = 0.5(中點)、k = 0.75 和 k從 -0.4～1.4的變化。