內積與對稱性 向量的內積定義為(圖1)：a.b=|a| |b| cos (theta) |a| |b| 是向量的模長, theta 是兩向量之間的夾角 內積是一種標量，其結果與坐標系的選擇無關，且與坐標無關性, 內積直接反映兩向量在彼此方向上的對齊程度。 宇宙的對稱性是物理學中一個核心概念。對稱性指的是自然界的物理定律在特定變換下保持不變， 1. 旋轉對稱性, 物理定律對於坐標系的旋轉不變。 內積在旋轉對稱性中扮演了重要角色, 向量內積的值不會因坐標系的旋轉而改變。無論如何旋轉參考系，內積始終保持不變，因為它僅依賴於向量間的相對關係（夾角和模長）。在描述動量、能量、角動量等具有方向性的物理量時，內積的旋轉不變性確保了計算結果不依賴參考系的選擇。 2. 洛倫茲對稱性, 狹義相對論中的時空對稱。 在狹義相對論中，四維時空中引入了四維向量, 如時空位置 (t, x, y, z) 和能動量 (E, p)，其內積的形式如圖 2 。這種內積遵循洛倫茲變換下的不變性，確保不同慣性系觀察到的物理結果一致。描述了宇宙中的因果結構與事件之間的時空距離。