この問題は、πが数直線（実数）上にあるのか？と言う問題に帰着できると思います。無理数（超越数）であるπは無限に小数が続くのに、図形として存在する数直線上にあるのか？と言うことと思います。答えはπは数直線上にある、です。数直線は有理数だけでは埋め尽くせません。説明がうまくなくて申し訳ございませんが、こんな感だと思います。もっと、上手に説明される方がいらっしゃいましたらよろしくお願いします。

例えば、半径が10の円を考え、πを3.14とした場合、この円の面積は 10 * 10 * 3.14 = 314 となります。 次に、πを3.15とした場合、この円の面積は 10 * 10 * 3.15 = 315 となります。 πは3.14以上、3.15未満の無理数であるため、この円の面積は314以上315未満の値となります。小数点以下の桁を増やすことで、面積の値はより正確に計算されますが、無限大になることはありません。

無理数で、無限に数が続くから膨張しているというのは正しいイメージではないですね 極限的な言い方をすると無限に数が続くけど、どこかの値に収束するということかな πを数直線上にとった時にその点は存在するんです 割り切れる数は、その後の桁は永遠に0が続いているんですよ　それがなんらかの数が続いて続きがわからないっていうだけの違いです

現実世界では、むしろキリよくまとまる数字の方がレアで、無理数になる方が普通です

膨張するわけではありません。どこまで計算しても近似値しか求められず、正確に算出できないってことです。

例えばここにちょうど1cmの長さの線があったとして、それは正確に少数で表すと1.0000…cmと無限に0が続いた数字と同じですよね。 1.25cmのような少数の場合でも1.25000…cmのように無限に続く少数で表せます。 このように、どんな数字でも正確には0を使って無限に続く少数で表すことができ、普段は面倒なので0を省略しているだけと考えることができると思います。 ただ、ちょうどキリよく0が無限に続くような例はまれなので適当に線を引いたらほぼ確実にでたらめに数字が無限に並ぶ数(無理数)で表される長さになります。 数には最小単位がないので、ある有限の長さ以下の数直線を区別するために無限通りの表記方法が必要となります。これは最小単位が存在する実世界とは矛盾した振る舞いだと思いますし、そこがあなたの違和感なのかなと思います。 余談ですが 写像という概念を勉強すると、例えば(0,1)という区間と-無限から+無限までの区間に含まれる実数の個数は同じぐらい(濃度は等しい)という証明があるのですが、非常に不思議で面白い話だと思いました。

無理数は定まらない数と考えておられる方が多いですが、これは違います。数直線で表した時、これらの点はちゃんと定まった点であり、動いたりはしません。 ではなぜこれらの数が定まっていないと誤解されるかというと、小数では表すことができないからです。つまり無限に近い値は小数で表せるけど、その数そのものは表せません。つまり無理数は、人間が表現できていないだけで、数としては整数などと同じちゃんと定まった数です。

π（その他の無理数も同じ）は１つの値を持った数（すう）です。πを ０～９（すうじ；10進表現）で表そうとすると、正確に表そうとすればするほど、桁数が増えます。値が増えているわけではなく、数の表現に使っているすうじ（文字数、桁数）が増えているだけです。1/3（=0.333....）と同じです。

返信を見てみましたが、主の疑問点を理解できていない人が多いように思います。 たぶん、主の疑問点は、 ・円の面積は、半径×半径×πである。 ・πは、3.141592…と無限に続く。 という所からスタートしています。 初めに、πを3として面積を計算したとします。 次に、3.1として面積を計算すると、3として計算した値より正しい値に近くなりますが、3として計算した値より3.1として計算した値の方が大きくなります。 更に、3.14として計算した値は、3.1として計算した値よりも正しい値に近くなりますが、3.1として計算した値より大きくなります。 πの値は3.141592…と無限に続くので、上述の考えを無限に繰り返すことになり、面積の計算値は、ずっと増え続けることになりますよね？ という疑問なのかと思います。 ゼノンの「アキレスと亀」的な要素もあり、興味深い話だと思います。

円周率は数字だと3.14…と無限に続きますが、所詮3.15よりは小さな値です。 不確定なモノではないです。面積だって有限です。